Dua garisan dalam satah

Syarat keselarian

Seperti yang ditunjukkan oleh tanda semak, garis a dan b adalah selari. Ini boleh dibuktikan kerana t transversal menghasilkan sudut sepadan yang kongruen θ {\displaystyle \theta } , ditunjukkan di sini kedua-duanya di sebelah kanan transversal, satu di atas dan bersebelahan dengan garis a dan satu lagi di atas dan bersebelahan dengan garis b .

Diberi garis lurus selari l dan m dalam ruang Euclid, sifat berikut adalah setara:

1. Setiap titik pada garis m terletak pada jarak (minimum) yang sama dari garis l (garisan sama jarak).
2. Garis m berada dalam satah yang sama dengan garis l tetapi tidak bersilang l (ingat bahawa garisan memanjang ke infiniti dalam mana-mana arah).
3. Apabila garis m dan l kedua-duanya bersilang dengan garis lurus ketiga (rentas lintang) dalam satah yang sama, sudut persilangan yang sepadan dengan rentas rentas adalah kongruen.

Oleh kerana ini adalah sifat yang setara, mana-mana satu daripadanya boleh diambil sebagai takrifan garis selari dalam ruang Euclid, tetapi sifat pertama dan ketiga melibatkan pengukuran, dan seterusnya, adalah "lebih rumit" daripada yang kedua. Oleh itu, sifat kedua ialah sifat yang biasanya dipilih sebagai sifat penentu garis selari dalam geometri Euclid.[2] Sifat-sifat lain pula terbit daripada postulat keselarian Euclid. Sifat lain yang turut melibatkan pengukuran ialah garisan selari antara satu sama lain mempunyai kecerunan yang sama.

Pembinaan

Tiga sifat di atas membawa kepada tiga kaedah pembinaan (pelukisan) berbeza[3] garis selari.

• Keperluan: Lukis garisan melalui a, selari dengan l.
• Sifat 1: Garisan m mempunyai jarak yang sama di mana-mana ke garisan l .
• Sifat 2: Ambil garis rawak melalui a yang bersilang l dalam x . Pindahkan titik x ke infiniti.
• Sifat 3: Kedua-dua l dan m berkongsi garis melintang melalui a yang bersilang pada 90°.

Jarak antara dua garis selari

Oleh kerana garis selari dalam satah Euclidean adalah sama jarak, terdapat jarak unik antara dua garis selari. Diberi persamaan dua garis selari yang tidak menegak mahupun mendatar,

y = m x + b 1 {\displaystyle y=mx+b_{1}\,} y = m x + b 2 , {\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}

jarak antara dua garisan boleh didapati dengan mencari dua titik (satu pada setiap baris) yang terletak pada serenjang sepunya dengan garis selari dan mengira jarak antara mereka. Oleh kerana garisan mempunyai kecerunan m, serenjang sepunya akan mempunyai kecerunan −1/m dan kita boleh mengambil garis dengan persamaan y = − x / m sebagai serenjang sepunya. Selesaikan sistem linear

{ y = m x + b 1 y = − x / m {\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\end{cases}}}

dan

{ y = m x + b 2 y = − x / m {\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\end{cases}}}

untuk mendapatkan koordinat titik. Penyelesaian kepada sistem linear ialah titik

( x 1 , y 1 )   = ( − b 1 m m 2 + 1 , b 1 m 2 + 1 ) {\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,}

dan

( x 2 , y 2 )   = ( − b 2 m m 2 + 1 , b 2 m 2 + 1 ) . {\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right).}

Formula ini masih memberikan koordinat titik yang betul walaupun garis selari adalah mendatar (iaitu, m = 0). Jarak antara titik adalah

d = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 = ( b 1 m − b 2 m m 2 + 1 ) 2 + ( b 2 − b 1 m 2 + 1 ) 2 , {\displaystyle d={\sqrt {\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}

yang diringkaskan kepada

d = | b 2 − b 1 | m 2 + 1 . {\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}

Apabila garisan diberikan oleh bentuk umum persamaan garis (garis mendatar dan menegak disertakan):

a x + b y + c 1 = 0 {\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,} a x + b y + c 2 = 0 , {\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}

jarak mereka boleh dinyatakan sebagai

d = | c 2 − c 1 | a 2 + b 2 . {\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}

Dua garisan dalam ruang tiga dimensi

Dua garisan dalam ruang tiga dimensi yang sama yang tidak bersilang tidak perlu selari. Hanya jika ia berada dalam satah biasa, ia dipanggil selari; sebaliknya ia dipanggil "garisan condong".

Dua garis berbeza l dan m dalam ruang tiga dimensi adalah selari jika dan hanya jika jarak dari titik P pada garis m ke titik terdekat pada garis l adalah bebas daripada lokasi P pada garis m. Ini tidak akan berlaku bagi garis condong.

Satu garisan dan satah

Garis m dan satah q dalam ruang tiga dimensi, garis yang tidak terletak dalam satah itu, adalah selari jika dan hanya jika ia tidak bersilang.

Secara setara, ia adalah selari jika dan hanya jika jarak dari titik P pada garis m ke titik terdekat dalam satah q adalah bebas daripada lokasi P pada garis m .

Dua satah

Sama seperti fakta bahawa garis selari mesti terletak dalam satah yang sama, satah selari mesti terletak dalam ruang tiga dimensi yang sama dan tidak mengandungi titik persamaan.

Dua satah q dan r yang berbeza adalah selari jika dan hanya jika jarak dari titik P dalam satah q ke titik terdekat dalam satah r adalah bebas daripada lokasi P dalam satah q. Ini tidak akan berlaku jika kedua-dua satah tidak berada dalam ruang tiga dimensi yang sama.